蒙提霍尔问题的分析

发布于 2020-10-22  27 次阅读


引入

先来看看问题

参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车或者是奖品,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车或奖品,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,知道门后情形的节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的几率?

分情况考虑

选中的门后面就是汽车

那么这个时候主持人会随机打开一扇剩下两扇都是山羊的门(概率分布均匀)

如果选择换,那么必然导致换门失败

这种情况发生的概率是P=\frac{1}{3}

car

选中的门后面是山羊

此时主持人一定会打开唯一的背后是山羊的门

而这种情况发生的概率是P=\frac{2}{3}

这种情况下,转换将一定会导致游戏胜利

  1. 选中的是A羊

  2. 选中的是B羊

可以看的出来,因为一开始选中羊的几率比选中车的几率大,而选择换门又会给这种局面造成胜利,故换门是可以增大获胜几率的

所有情况的列表如下

利用贝叶斯公式的定量化分析

太懒了有时间再补

先随便挂个链接大家看看把

Link

三囚问题的贝叶斯公式定量化分析

问题:

三个犯人都住在隔离间,并且都被判处了死刑。监狱官赦免了其中
一个犯人。看守知道谁会赦免,但不会说。

犯人A脸皮厚,想让看守告诉他,B和C谁会被执行死刑。

  • 如果赦免的是B,看守就会说C;
  • 如果赦免的是C,看守就会说B;
  • 如果赦免的是A,看守就抛硬币决定说B或者C。

看守告诉A,犯人B将会执行死刑。

问A,C两人生存的概率是多少?

P(A), P(B), P(C)分别是事件A被赦免,B被赦免和C被赦免的概率

由题可知P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}

P(D_1)是看守说B被处决的概率,P(D_2)是看守说C被处决的概率

由题可知P(D_1) = P(D_2) = \frac{1}{2}

P(D_1|A) = \frac{P(A)P(D_1)}{P(A)} = \frac{P(B)P(D_2)}{P(B)} = \frac{1}{2}

P(D_1|C) = 1, P(D_2|B) = 1

现在已经知道事件D_1发生了,我们要求的就是P(A|D_1)P(C|D_1)

先求P(D_1),利用贝叶斯公式

P(D_1)=P(D_1|A)P(A)+P(D_1|B)P(B)+P(D_1|C)P(C)

P(A|D_1) = \frac{P(D_1|A)P(A)}{P(D_1)} = \frac{1}{3}

P(C|D_1) = \frac{P(D_1|C)P(C)}{P(D_1)} = \frac{2}{3}

所以分别是\frac{1}{3}\frac{2}{3}

参考资料

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